引子
在很多博客和视频中，不少人都将 取余(rem) 和 取模(mod) 混为一谈，虽然这两个是同一种运算，实际上他们区别很大，而编程语言的 % 符号，不同语言有着不同的处理方式，比如在 C/C++ 中，这个符号代表 “取余”，而在 Python 中，这个符号代表着 “取模”。
为什么同一种运算会出现区别呢？
因为在被除数和除数的符号不同时，余数的符号会产生歧义，可正可负。
取模定理和求余定理
前提：设a=kb+r， 且满足0≤∣a∣≤∣k∣
给定a 和k，求mod(a,k) 和rem(a,k)
显然，对于满足上述两个前提条件，如果a 无法整除k，则存在两对(b,r)，其中一对的r 为正数（正余数），另一对r 为负数 (负余数) ，我们也可以用一个时钟从0点顺时针和逆时针走到某一点的两种方案来理解。
结果：正因为上述歧义，不同语言的取模的定义可能不一样，最常见的是：
取模：k 更趋于负无穷大时的r，即mod(a,b)
求余：k 更趋于 0 是的r, 即rem(a,b)
举例
例1
mod(7,3)=1 和rem(7,3)=1
此时的两对(b,r) 分别为:
- (2,1) , 即7=2∗3+1
- (3,−2) ，即7=3∗3+(−2)
因为b1=2, b2=3
所以，b1 更趋近于负无穷大，所以取模操作时的r 取第1组，r=1；
同理，因为b1 更趋近于负无穷大，所以取余操作的r 也取第一组，r=1。
例2
mod(7,−3)=−2 和rem(7,−3)=1
此时的两对(b,r) 分别为:
- (−2,1) , 即7=(−2)∗(−3)+1
- (−3,−2) ，即7=(−3)∗(−3)+(−2)
因为b1=−2, b2=−3
所以，b2 更趋近于负无穷大，所以取模操作时的r 取第2组，r=−2；
而因为b1 更趋近于 0 ，所以取余操作时的r 取第二组，r=1
例3
mod(−7,3)=2 和rem(−7,3)=−1
此时的两对(b,r) 分别为:
- (−2,−1) , 即7=(−2)∗3+(−1)
- (−3,2) ，即7=(−3)∗3+2
因为b1=−2, b2=−3 , 所以b2 更趋近于负无穷大，所以取模操作时的r 取第2组，r=2；
而因为b1 更趋近于 0 ，所以取余操作时的r 取第二组，r=−1
例4
mod(−7,−3)=−1 和rem(−7,−3)=−1
此时的两对(b,r) 分别为:
- (2,−1) , 即7=(2)∗(−3)+(−1)
- (3,2) ，即7=3∗(−3)+2
因为b1=2, b2=3, 所以，b1 更趋近于负无穷大，所以取模操作时的r 取第1组，r=−1；
而因为b1 更趋近于 0 ，所以取余操作时的r 也取第一组，r=−1
编程语言中的 % 符号
在 C/C++ 中： % 符号代表取余
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| int main()
{
std::cout << (7 % 3) << std::endl;
std::cout << (7 % -3) << std::endl;
std::cout << (-7 % 3) << std::endl;
std::cout << (-7 % -3) << std::endl;
}
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在 Java 中： % 符号代表取余
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| public class Main {
public static void main(String []args) {
System.out.println(7 % 3);
System.out.println(7 % -3);
System.out.println(-7 % 3);
System.out.println(-7 % -3);
}
}
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在 Rust 中：% 符号代表取余
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| fn main() {
println!("{}", 7 % 3);
println!("{}", 7 % -3);
println!("{}", -7 % 3);
println!("{}", -7 % -3);
}
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在 Python 中：% 符号代表取模
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| print(7 % 3)
print(7 % -3)
print(-7 % 3)
print(-7 % -3)
// output:
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2
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在Golang 中：% 符号代表取模
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| package main
import "fmt"
func main() {
fmt.Println(7 % 3)
fmt.Println(7 % -3)
fmt.Println(-7 % 3)
fmt.Println(-7 % -3)
}
|
剩下的语言就不一一列举了，大部分语言的 % 语义都是取余。
取余运算满足该等式：m % n = m - n * （m / n）
如C语言中： 5 / -3 = -1 5 % (-3) = 5 - (-3) *(5 / -3) = 2
